Mencionamos de manera breve datos de la vida personal de Henri Poincaré. Hacemos un recuento de algunas de sus aportaciones a la mecánica clásica aderezándolo con un esbozo de su biografía académica. Después de una introducción a la mecánica hamiltoniana, analizamos sistemas simples para ilustrar las técnicas cualitativas que introdujo para el análisis de sistemas mecánicos. Ilustramos también la aparición de movimientos caóticos en ellos. Demostramos heurísticamente el teorema de la recurrencia, según el cuál toda solución que sea tanto confinada como que conserve la energía deberá de regresar después de cierto tiempo a estar tan cerca como se quiera de sus condiciones iniciales. Este es un resultado fundamental que debiera ser más conocido. Adicionalmente, mencionamos las aportaciones de Poincaré al problema de tres cuerpos que interaccionan entre sí gravitacionalmente.