El objetivo del presente trabajo es el desarrollo completo y autocontenido sobre la clasificación diferenciable de las superficies compactas, asunto de interés primario en el área de Topología y con aplicaciones fundamentales y variadas en muchas áreas de la Matemática. La clasificación topológica de las superficies compactas contenidas en el espacio tridimensional fue dada por Riemann y Jordan. Ellos se basaban en resultados que parecían evidentes que luego ni ellos ni muchos matemáticos podían demostrarlos con la matemática que había hasta esos momentos. Tuvo que pasar mucho tiempo para que se llegara a tener la maquinaria necesaria para poder demostrar la clasificación topológica y mayor tiempo aún para la clasificación diferenciable. El presente trabajo da una clasificación diferenciable de las superficies compactas (con borde o no) siguiendo métodos más sofisticados dentro de la Topología Diferencial. La Teoría de Morse que trata del estudio de curvas de nivel de funciones y la Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias sobre superficies nos proveen de las herramientas necesarias para la prueba de la clasificación diferenciable de superficies compactas.