Los autores presentan los resultados de existencia y unicidad de solución local en los espacios de Sobolev de alta y de baja regularidad del problema de valor inicial para el Sistema de J. Gear y R. Grimshaw, el cual está formado por dos ecuaciones de Korteweg-de Vries acopladas a través de los términos dispersivos y no lineales.En los espacios de baja regularidad se usa el método de regularización parabólica (Iorio) y para los espacios de baja regularidad es utilizado el método de restricción de la transformada de Fourier (Bourgain). Es demostrado también un resultado de “mala formualción” (ill possed).